一种新的基于奇异值特征的人脸识别技术(1)

    基于奇异值特征的人脸识别方法是由Hong^[1][2]首先提出来的。他们将人脸特征分为视觉特征、统计特征、变换系数特征以及代数特征四类，代数特征反映了图像的本质属性。因为图像本身的灰度分布描述了图像的内在信息，所以可以将图像作为矩阵看待，进行各种代数和矩阵变换后提取的代数特征是人脸的表征。

    奇异值分解是求解最小二乘问题的一种有效工具，在数据压缩、图像处理以及模式识别等方面得到了广泛应用，为提取人脸代数特征提供了一种有效的手段。奇异值分解定理及其特性可描述如下：

定理1.1(奇异值分解定理,SVD)^[3]  若  (不失一般性，设m≤n ), ,则存在两个正交矩阵和  以及对角阵：， 。

    使得：

    其中 为AA^T，A^TA的特征值， 分别为AA^T，A^TA对应 的特征矢量。

    将所有奇异值按从大到小排列所得到的向量 即为图像的奇异值特征向量，文献[1][2]中最早将奇异值特征应用于人脸识别，建立了基于Sammon最佳鉴别平面的Bayes分类模型，实验中，采用9张人脸照片建立的统计模型完全正确的识别了这9张照片，但当识别不同时期的照片时，只获得了57%的识别率，洪子泉将其归因于训练样本的不足。

    因为对于任意图像矩阵A，它的奇异值分解是唯一的，所以当所有的奇异值按从大到小排列时，该图像的奇异值特征也是唯一的，于是奇异值特征可以作为描述灰度矩阵的一种数值特征。该特征具有如下性质^[1]：稳定性、位移不变性、奇异值特征与对应图像亮度成比例变化、旋转不变性、转置不变性。

    本节将基于奇异值分解和投影的方法提取图像一种新的代数特征。

    首先取定一幅标准脸像，它的像素亮度所代表的矩阵为 A∈对其进行奇异值分解： ， ，不失一般性设 m≤n，矩阵 A 也可以如下表示^[4][5]： 。将样本 B 投影至 A 确定的 得投影系数 ，这样将这些系数排列成一列向量 ，δ 称为 B 关于 A 的投影特征向量。

    定理2：设 ，是矩阵 C 奇异值分解后的正交矩阵，若

    则有：

    证明：

=

    定理2说明当图像有扰动时,本文提出的样本A，B 向标准脸像 C 奇异值分解后的正交矩阵投影得到的投影特征的变化小于图像扰动的Frobenius范数，所以此特征具有较好的稳定性。    

通过上面叙述可知，图像矩阵 B 向 A 所确定的空间上投影可表示为：

   =        （式1.2）

    矩阵 B 关于 A 的投影特征向量 ，实质上就是矩阵  的对角线元素。

    设人脸识别任务中训练样本集为，i 表示类别，j 表示每一个人所包含的人脸图片个数，不失一般性设m≤n 。

    第一步：定义所有训练样本的平均脸 ，

对其进行奇异值分解： ，得到正交矩阵U_M 和V_M 。

    第二步：将每个样本投影到正交矩阵U_M ，V_M 上可得：

=

    第三步：不失一般性假设 m≤n，所以提取 S^i_j的对角线元素排列成一列向量 δ^i_j：， δ^i_j作为测试样本的特征就是本文提出的基于投影变换的奇异值特征。

    第四步：将测试样本 投影至平均脸 M 奇异值分解后得到的正交矩阵，得到相应的投影特征：

    第五步：根据训练样本与测试样本的特征采用相应的分类器进行分类识别。