Hilbert变换在探地雷达数据处理中的应用(1)

    探地雷达（Ground Penetrating Radar）是近几年迅速发展起来高分辨高效率的无损探测技术，向地下发送脉冲形式的高频宽带电磁波，利用地下介质电性参数差异，根据回波信号的振幅、波形和频率等运动学特征来分析和推断介质结构和物性特征，具有快速便捷、操作简单、抗干扰和场地适应能力强、探测分辨率高等方面的特点，目前已成为工程检测和勘察最为活跃的技术方法之一。

雷达的探测必须经历数据的采集、处理和解释等三个步骤，数据处理的目的就是要压制干扰，以最大限度的分辨在雷达图像剖面上显示反射波，提取有效信息，因此信号处理的好坏直接关系到最终资料解释的正确与否，是至为关键的一步。

    探地雷达的资料处理在理论上属于数字信号处理范畴，希尔伯特（Hilbert）变换在本质上是一种全通滤波器，是信号分析处理中的一种重要方法, Hilbert变换巧妙地应用解析表达式中的实部与虚部的正弦和余弦关系，定义出任意时刻的瞬时频率、瞬时相位及瞬时幅度, 使得对于短信号和复杂信号的瞬时参数的提取成为可能，从而能更有效地、真实地获取信号中所含的信息，有利于分析地下介质的分布情况。本文将Hilbert变换用于探地雷达资料的数据处理中，提取出瞬时振幅、瞬时相位和瞬时频率，即“三瞬”信息，为后续的雷达资料解释提供了很好的依据。

    雷达记录x(t) 的Hilbert变换公式

                 （1）

    变换因子的时间响应h(t) 为

                   （2）

    其频率响应

    由上式可知，一个是实信号经过Hilbert变换之后，相位谱要发生90º相移，因此Hilbert变换又可称为90º相移滤波。

    设一个解析信号可表示为依赖于时间的复变量

                        (3)

    式中， x(t)是信号本身，y(t) 是它的正交。正交是记录信号的90º相移翻版。对x(t) 作Hilbert变换就可得到

                            (4)

    代入方程(3)，我们有：

                (5)

或                                      (6)

    这样，要得到探地雷达单道x(t) 的解析信号u(t) 只要对该道加上下列算子：

    当在傅立叶变换域中是解析的，这个算子对负频率就是零。因此复数道u(t)不包含负频率成分。

    一旦算出了u(t)，就可以指数形式表达：

                     (7)

    式中                                            (8)

及                             (9)

    这里 R(t)代表瞬时振幅，φ(t) 代表瞬时相位。

    对瞬时相位还可用下面另一种方法计算。对方程（7）两边取对数得,

                 (10)

    因此

                     (11)

    式中，Im是虚部。

    瞬时频率是瞬时相位函数的时间变化速率：

                        (12)